Lateinische Quadrate und ihre Verwandtschaft

Tag der offenen Mathothek

Mathothek 2019Am Samstag, dem 2. März 2019 ist die Mathothek wieder von 11 bis 17 Uhr für alle Interessierten geöffnet. Eintritt: Nur ein wenig Neugierde, Begeisterungsfähigkeit und Spieltrieb. Ein lateinisches Quadrat der Größe n enthält n Zeilen und n Spalten. Des weiteren gibt es n verschiedene Symbole, z.B. Zahlen. In jedes Feld wird ein Symbol eingetragen. Wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte alle Symbole einmal vorkommen oder, was auf dasselbe hinausläuft, kein Symbol mehrfach vorkommt, dann spricht man von einem lateinischen Quadrat.

Bei einem lateinisch-griechischen nxn-Quadrat handelt es sich um eine Doppelbelegung, d.h. es gibt zweimal n verschiedene Symbole, z.B. lateinische Buchstaben und griechische Buchstaben – daher kommt der Name – als Symbole. Man kann aber auch n Objekte benutzen, die zwei verschiedene Merkmale besitzen, beispielsweise Form und Farbe. Damit es sich dann um ein lateinisch-griechisches Quadrat handelt, muss dann jedes Merkmal in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommen.

Bei den inzwischen so beliebten Sudoku-Rätseln handelt es sich ebenfalls um lateinische Quadrate mit 9×9 Feldern, denn die neun Symbole – die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – müssen in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal eingetragen werden. Als besondere Zusatzbedingung kommt bei einem Sudoku noch hinzu, dass auch in den neun Unterquadraten alle neun Zahlen erscheinen müssen. In der Mathothek gibt es sehr viele Exponate gerade auch zum diesem Thema. Vor allem zeigen mehrere solcher Sudokus, dass nicht die Zahlen das Mathematische an einem Sudoku sind, sondern die Verteilung der neun Symbole. Sehr beliebt bei Besuchern ist insbesondere ein Farbensudoku, bei dem die neun Ziffern durch neun verschieden farbige Plättchen ersetzt sind.

Besonders schön ist auch das “geometrische Sudoku”, bei diesem sind die Zahlen eins bis neun durch geometrische Körper, wie z.B. Kegel, Würfel, Torus, Halbkugel. Prisma u.a. ausgetauscht worden. Die Ausgangsstellung kann dabei immer neu gewählt werden.

Nicht ohne Zahlen geht es bei den magischen Quadraten. Auch hier handelt es sich um eine gewisse Form von lateinischen Quadraten, weil in jeder Zeile und jeder Spalte keine Zahl doppelt auftreten darf. Allerdings müssen alle Zahlen von 1,2, bis n2 in das Quadrat mit nxn Feldern eingetragen werden. Beispiel: In ein 3×3 magisches Quadrat müssen die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 eingetragen werden. Damit es sich dann um magisches Quadrat handelt, muss dann die Bedingung erfüllt sein, dass in jeder Zeile, in jeder Spalte und jeder der beiden Hauptdiagonalen diese Zahlen dieselbe Summe ergeben. Bei dem obigen magischen 3×3-Quadrat ist diese Summe jeweils 15. Magische Quadrate gibt es zu allen Quadratzahlen: 9, 16, 25, 36 usw. Die benutzten Symbole sind alle Zahlen, die kleiner oder gleich der jeweiligen Quadratzahl sind. Es gibt kein 2×2 magisches Quadrat, wie man leicht feststellen kann.

Insgesamt ist die Mathothek zu diesem Bereich sehr gut bestückt, sowohl mit vielen Beispielen mit verschiedenen Anforderungsgraden als auch mit interessanten Varianten und Hintergrundinformationen.

So gibt es auch zwei geometrische magische Quadrate, die anscheinend ohne Zahlen auszukommen scheinen.

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